Следствия общей теории относительности
Мысль о неэвклидовой геометрии как таковая отнюдь не нова. Ещё гениальный математик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) много занимался этим вопросом.
Системы неэвклидовой геометрии первыми разработали выдающийся русский математик Н. И. Лобачевский (1792-1856) и венгерский математик Я. Бояи. Лобачевский опубликовал своё сочинение об этом в 1829 г., Бояи — в 1831 г. Сам Гаусс при жизни никаких работ по неэвклидовой геометрии не опубликовал. Поэтому геометрия справедливо получила название «геометрии Лобачевского».
О правильности научной теории каждый разумный человек судит, опираясь не на произвольные домыслы, а на опыт. Но разве каждый школьник не знает, что сумма углов плоского треугольника должна составлять 180°?
Однако Гаусс сказал себе: то, что кажется правильным в малом, в большом масштабе может быть совсем другим. Если действительно существует искривление пространства, оно должно проявиться в том, что сумма углов треугольника отклоняется от привычной величины.
Для этой цели в 1840 г. он решил измерить с большой точностью суммы углов большого треугольника (Инзельсберг — Верхний Хаген — Брокен). Гаусс никогда не публиковал результаты этого опыта, так как злорадные замечания его коллег были бы ему неприятны; дело в том, что он не смог установить в пределах допустимых ошибок никакого отклонения. Сегодня мы знаем, почему его опыт не удался. Его треугольник был ещё слишком мал. Искривление пространства становится заметным только для огромных, воистину космических расстояний.
1. Геодезические линии
Свет — это единственное средство, посредством которого можно проверить, является ли данная линия прямой или нет. Но если мы теперь представим, что луч света при своём долгом путешествии через космос должен проходить мимо различных масс, то станет ясно, что он никогда не может дать прямую линию.
Когда он доходит до нас, он уже изогнут в виде какой-то линии, лишённой как будто всякой закономерности. Тяжёлое разочарование для всех чертёжников и геометров: прямой линии не существует. Но они могут несколько раздражённо ответить нам: «Но мы даже и не говорили о свете. Мы только вслед за нашим великим коллегой Эвклидом утверждаем, что прямая — это кратчайшее расстояние между двумя точками».
Все это, конечно, верно только на плоскости. Если мы воткнём две кнопки в поверхность шара и соединим их туго натянутой нитью, то образуется, во всяком случае, не прямая линия. Нить будет лежать по дуге боль-шого круга. Напомним читателю, что большой круг на сфере — это линия пересечения его плоскостью, проходящей через центр сферы. Все остальные круги на сфере — малые.
Короче, чем эта дуга, расстояния никак не может получиться. Итак, мы установили, что кратчайшим расстоянием на искривлённой плоскости является отнюдь не прямая, а некоторая кривая — геодезическая линия.
Аналогично, если наше обычное трёхмерное пространство изогнуто, это означает, что в нём не существует больше прямых линий в смысле геометрии Эвклида, но только геодезические. Мы можем их указать без большого труда. Их описывает любое тело, если оно движется только по инерции.
С этой точки зрения баллистическая парабола, описываемая брошенным камнем, это такая же геодезическая линия, как и круговая орбита Земли вокруг Солнца. Эти геодезические линии не лежат неподвижно в пространстве, как сетка долгот и широт на глобусе. Их расположение зависит от положения масс, между которыми движется тело, а также от его собственной массы.
Когда первые математики ввели понятие прямой линии, они думали найти свой идеал в образе светового луча и построили согласно этому свою геометрию. Из всех возможных геодезических линий пространства они интуитивно выбрали ту, которая по сравнению с другими меньше всего изогнута. К счастью, этот изгиб в земных масштабах так незначителен, что не вносит никакой путаницы.
2. Смещение перигелия Меркурия
Когда Эйнштейн опубликовал свою теорию, существовала только одна возможность проверить её правильность. Это было известное уже несколько десятков лет, но необъяснимое смещение перигелия планеты Меркурий. Явление это состоит в том, что наиболее близкая к Солнцу точка эллиптической орбиты планеты за одно столетие сдвигается примерно на 43″. Поэтому описываемые планетой эллипсы не замкнуты, а образуют систему петель вроде розетки (рис. 1).
Рис. 1. Смещение перигелия Меркурия (сильно преувеличено)
У остальных планет это явление практически не заметно. Можно вначале попытаться объяснить его, привлекая специальную теорию относительности, по которой масса возрастает из-за увеличения скорости вблизи Солнца (закон площадей!).
Однако такой расчёт даёт только 7″. Общая теория относительности даёт сразу же 43″ — отличное совпадение с результатами наблюдений.
3. Отклонение света в поле тяготения
Особенно сильно должен отклоняться от прямой луч света, если он проходит вблизи какой-нибудь большой массы. Единственным объектом для возможного обнаружения этого эффекта, имеющим достаточно большую массу, является Солнце. Луч должен отклоняться к Солнцу, проходя через его поле тяготения.
Отклонение можно рассчитать по специальной теории относительности, а именно на основе того факта, что фотоны света в соответствии с уравнением W = mс2 имеют энергию, пропорциональную их массе. Тогда найдём, что луч света, проходящий вблизи Солнца, будет искривлён в виде гиперболы (рис. 2), который составляет угол 0″,87. С учётом искривления пространства общая теория относительности даёт удвоенное значение угла, а именно 1″,75.
Рис. 2. Отклонение луча света звезды в поле тяготения Солнца (сильно преувеличено)
Чтобы измерить эту величину, надо наметить какой-то источник света, который находится позади Солнца. Для этого выбирают подходящие звёзды. Солнечный свет, сильно рассеивающийся в земной атмосфере, затмевает свет звёзд на дневном небе, тем более находящихся в непосредственной близости к Солнцу.
Поэтому измерение становится возможным только тогда, когда солнечный диск во время полного солнечного затмения закрыт Луной. Перед началом эксперимента необходимо знать точное положение звезды при отсутствии Солнца. Для этого ночью делают фотографический снимок того участка неба, где полгода спустя должно состояться предсказанное затмение.
На втором снимке, сделанном в момент затмения, положение звезды должно быть сдвинуто. Но так как теоретическое отклонение составляет всего лишь 1″,75, установить фактическую величину сдвига очень трудно.
Малейшее влияние отклонения желатинового слоя при проявлении пластинки, изменение в юстировке приборов, охлаждение атмосферы и связанное с этим изменение её лучепреломления во время солечного затмения, а также многие другие обстоятельства, которые нельзя предусмотреть, могут всё испортить. Нужны многократные опыты, чтобы доказать, что наблюдаемое отклонение хотя бы приблизительно соответствует расчётному значению.
4. Красное смещение в поле тяготения
Уже из основного соотношения специальной теории относительности W = mс2 следует, что лучам света, как и любому другому электромагнитному излучению, соответствует инертная масса. Но проявляют ли фотоны свойства тяжести?
При помощи точных измерений отклонения световых лучей в окрестностях Солнца на эту задачу был дан однозначный ответ, хотя, к сожалению, в нём еще отсутствовала желаемая точность. К счастью, существует еще одна возможность доказать идентичность инерции и тяжести. Это красное смещение спектральных линий в поле тяготения.
Если мы захотим поднять камень в поле тяготения Земли, то для этой цели нам придется совершить определенную работу. По формуле она равна произведению веса тела на высоту подъема: mgH.
Но если тело преодолевает поле тяготения «самостоятельно», без притока энергии извне, то оно может это сделать только за счёт собственных запасов энергии. Камню надо придать для этого соответствующее количество кинетической энергии, ракету надо снабдить топливом. Точно так же перемещение кванта света в поле тяготения происходит за счёт затраты его энергии.
Таким образом, если мы посылаем квант света вертикально вверх, то он должен при этом терять энергию ΔW = mgH, где под m надо понимать его тяжёлую массу. Общая энергия кванта по формуле ΔW = mс2
. При этом Δ — его инертная масса.
Тогда относительная потеря энергии ΔW/W= mgH/mс2
. Если и инертная и тяжёлая массы идентичны друг другу (а как раз это и утверждает общая теория относительности), можно сократить множитель m. Далее энергия одного кванта света пропорциональна его частоте v:
W = hv.
Это установил в 1900 г. Макс Планк. Поэтому коэффициент пропорциональности h называется постоянной Планка. Итак, если подставить ΔW = h x Δv и W = hv, то сокращается также множитель h и мы получаем
относительное изменение частоты света хождении разности высот Н
Δv/v = gH/c2
Если мы примем, например, разность высот 44 м, то относительное изменение частот получится равным 4,8 х 10-15. Измерение столь малого изменения частоты должно казаться утопией. Для обычного света это заведомо невозможно, так как все оптические спектральные линии не абсолютно тонкие, а по различным причинам имеют определенную ширину.
Это можно сравнивать с полосой частот радиопередатчика. Но, используя γ-излучение радиоактивных веществ, можно уже сегодня получать достаточно тонкие линии. Поэтому в самое последнее время возникла возможность определять изменение частот излучений, посланных вертикально вверх или вниз. При двукратном пробегании γ-лучами разности высот в 22 м измерения дают изменение частоты 5,1 х 10-15 ± 10%. Большей точности, разумеется, требовать нельзя.
Прежние опыты с видимым светом, излучаемым звёздами, не были так точны. Квант света, испускаемый Солнцем, теряет при этом энергию, которая идёт на преодоление поля тяготения Солнца.
Установлено, что относительное изменение частоты света, излучаемого звездой равно:
Δv/v = fm/rс2
Отсюда для Солнца получаем значение 2 x 10-6. Это можно в какой-то степени проверить. При этом надо подчеркнуть, что этот эффект не имеет ни малейшей связи с эффектом Допплера, так как тот соответствует источнику излучения, который находится в движении относительно наблюдателя.
